Educ. Humanismo, Vol. 18 - No. 30 - pp. 42-56 - Enero-Junio, 2016 - Universidad Simón Bolívar - Barranquilla, Colombia - ISSN: 0124-2121
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Interpretaciones de la fracción
en una experiencia de simulación con GeoGebra*
Jhorfy J. Reyes R.
1
, Juan Luis Prieto
2
Universidad del Zulia, Venezuela
DOI: http://dx.doi.org/10.17081/eduhum.18.30.1321
Recibido: 27 de febrero de 2015 Aceptado: 16 de junio de 2015
Interpretations of the fraction in a simulation
experience with GeoGebra
Resumen
En este trabajo se presenta una experiencia de simulación con GeoGebra vivida
por dos estudiantes de nivel medio en Venezuela. Especícamente, se describe la
manera en que las estudiantes resuelven la tarea de representar un fenómeno con el
software. Durante la simulación, las interpretaciones parte-todo, así como reparto
y operador de las fracciones, ayudaron a crear y validar técnicas de localización de
puntos característicos de las guras geométricas asociadas con el fenómeno tratado.
La conexión entre las distintas interpretaciones y con otras nociones matemáticas
emergentes también se puso de maniesto. En cuanto al GeoGebra, se resalta el uso
de la cuadrícula como referente gráco que apoyó las reexiones de las estudiantes
a lo largo de la experiencia.
Abstract
This paper presents a simulation experience with GeoGebra lived by two aver-
age level high school students from Venezuela. Specically, it describes the way
in which students solve the task of representing a phenomenon with the software.
During the simulation, the interpretations of being part of a whole, as well as distri-
bution and fractions operator, took place and helped students to create and validate
technics to locate characteristic points of the geometrical gures associated with the
phenomenon treated. The connection between the different interpretations and other
mathematical concepts were also present. Regarding to GeoGebra, it is highlighted
the use of the grid as a graphic reference that supported the reections of the students
during the experience.
Palabras clave:
Fracciones, GeoGebra,
Interpretaciones de la fracción,
Simuladores.
Key words:
Fractions, Fraction interpretations,
GeoGebra, Simulations.
Referencia de este artículo (APA): Reyes, J. & Prieto, J. L. (2016). Interpretaciones de la fracción en una experiencia de simulación con
GeoGebra. En Revista Educación y Humanismo, 18(30), 42-56. http://dx.doi.org/10.17081/eduhum.18.30.1321
* Este trabajo se ha realizado al amparo del proyecto de investigación No. CH-0510-15, adscrito al Centro de Estudios Matemáticos y
Físicos (CEMAFI) y nanciado por el Consejo de Desarrollo Cientíco, Humanístico y Tecnológico (CONDES) de la Universidad del
Zulia, Venezuela.
1. Licenciado en Educación, mención Matemáticas y Física por la Universidad del Zulia y actualmente labora como profesor voluntario
en el Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática. Email: jhorfy.reyes@aprenderenred.com.ve
2. Licenciado en Educación, mención Matemáticas y Física por la Universidad del Zulia y Master en Nuevas Tecnologías Aplicadas a la
Educación por la Universidad de Alicante, España. Actualmente es profesor de la Universidad del Zulia.
Email: juanl.prietog@gmail.com
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intErprEtACionEs dE lA frACCión En unA ExpEriEnCiA dE simulACión Con gEogEbrA
Introducción
La actividad matemática en la que se ven
involucrados los estudiantes en sus clases es el
reejo de su interacción en tres situaciones: unas
tareas –problemas y ejercicios– que el profesor
les propone, un cierto conocimiento matemático
y su entorno social. Durante esta actividad, los
estudiantes elaboran y reproducen un conjunto
de técnicas –procedimientos y estrategias de re-
solución de las tareas mediadas por herramientas
o artefactos diversos– y discursos que la expli-
can y justican. Estos discursos develan el lugar
que ocupa el conocimiento matemático durante
la actividad (Chevallard, 1999, pp.222-225).
Ahora bien, dada la importancia que la acti-
vidad matemática reviste para el aprendizaje, es
imperativo que esta se lleve a cabo de una ma-
nera adecuada a las exigencias del momento, lo
que hace a la reexión sobre las relaciones entre
el conocimiento matemático y las acciones de
los estudiantes al resolver las tareas, un elemento
fundamental de la práctica del profesor.
Sin embargo, en las instituciones escolares, la
actividad matemática no siempre se lleva a cabo
de la manera más conveniente para el logro de
los aprendizajes, y esto afecta muchas veces el
desempeño y actitud de los estudiantes. Por esta
razón, los más jóvenes suelen sentir apatía hacia
el estudio de la matemática y pierden fácilmen-
te el interés en la elaboración de discursos que
relacionen sus acciones en el área con el saber
matemático subyacente (Crespo, 2009; Reyes-
Gasperini, 2010, p.45).
Esta situación plantea el desafío de transfor-
mar la actividad matemática que predomina en
las escuelas actualmente, mediante actividades
cuyas dinámicas ayuden al profesor a pensar y
actuar sobre la base de este tipo de relaciones.
Hoy en día, la necesidad de estas dinámicas
puede verse favorecida por la integración de las
tecnologías digitales en la actividad matemática
del aula (Laborde, 2001; Strässer, 2002, p.65),
ya que estas tecnologías ofrecen al profesor la
oportunidad de establecer nuevas relaciones en-
tre la actividad matemática y el aprendizaje de
los contenidos curriculares (Laborde, 1998, p.3),
en especial de aquellos cuya comprensión puede
resultar frustrante para muchos estudiantes. En
particular, lo anterior ocurre con el concepto de
fracción y sus múltiples interpretaciones (van
Galen, Feijs, Figueredo, Gravemeijer, van Her-
pen & Keijzer, 2008, p.11). Al respecto, una de
las tecnologíasque puede inuir favorablemente
es el GeoGebra, un software libre de matemáti-
ca dinámica que hace posible la realización de
actividades relacionadas de forma directa o in-
directa con el conocimiento matemático escolar
(Hohenwarter & Preiner, 2007). Más concreta-
mente, la experiencia del Grupo TEM en el uso
del GeoGebra con estudiantes y profesores lleva
a valorar la simulación como una actividad pro-
picia para el estudio de la matemática en relación
con contextos reales interesantes (Cervantes,
Rubio & Prieto, 2015, p.19).
Un simulador es un modelo computacional
de una situación real o hipotética, o bien de un
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fenómeno natural, que facilita la observación,
exploración y manipulación de las diferentes va-
riables involucradas en la situación o fenómeno
(Clark, Nelson, Sengupta & D’Angelo, 2009;
Hilton & Honey, 2011; Pugnaloni, 2008, p.27).
Desde esta perspectiva, elaborar un simulador
con GeoGebra implica recrear una situación o
fenómeno real a partir de procesos de construc-
ción geométrica con el software, que se realizan
de forma progresiva y atendiendo a los diferen-
tes componentes de la situación o fenómeno si-
mulado. Vale aclarar que cada producto de una
construcción geométrica es un modelo concreto
de algún aspecto del fenómeno que se obtiene al
evocar, de forma consciente o inconsciente, uno
o varios objetos matemáticos –llamados también
modelos matemáticos– que se muestran median-
te signos, símbolos, expresiones, guras y otras
formas de discurso.
Todo indica que los estudiantes evocan la
matemática implícita en la elaboración de un si-
mulador con GeoGebra cuando tratan de justi-
car el uso que hacen de determinadas herramien-
tas del software para modelar cada aspecto del
fenómeno (Gutiérrez & Prieto, 2015, p.116). Y,
aunque esto puede parecer simple, la omisión de
estas justicaciones durante la simulación hace
que la matemática en sí pase desapercibida du-
rante gran parte del proceso y, en consecuencia,
que los estudiantes solo aprendan técnicas no
justicadas en la teoría matemática.
En un esfuerzo por reconocer el lugar que
ocupa la matemática en las experiencias de si-
mulación con GeoGebra, en este trabajo se des-
cribe el proceso de construcción de un elemento
que compone la estructura de una grúa mecánica
con la ayuda del software, centrando la atención
en las tareas y técnicas que fueron atendidas. El
relato da cuenta de la emergencia de la noción de
fracción y dos de sus interpretaciones mientras
se aborda una de las tareas de construcción.
Noción de fracción y sus interpretaciones
En general, la palabra fracción alude a un par
ordenado de números naturales que se escribe de
la forma y es usado en múltiples situaciones y
contextos (Llinares & Sánchez, 1997). Dos cosas
destacan de este tipo de números. Por un lado, la
fracción hace referencia a algún tipo de totalidad
que puede ser discreta o continua (Ríos, 2008,
pp.145-157). Una totalidad discreta alude a un
conjunto de elementos de la misma naturaleza,
mientras que la totalidad continua se relaciona
con una representación gráca –por ejemplo, el
conocido modelo de área– o con una cantidad de
magnitud. Por otro lado, el uso de las fracciones
pone de relieve una serie de interpretaciones que
se atribuyen a este objeto y varían según la situa-
ción o contexto de aplicación. Para Ríos (2008;
2010), algunas de estas interpretaciones son:
parte-todo, cociente, reparto, división, razón y
operador. En este sentido, el aprendizaje de las
fracciones se vincula con el uso adecuado de es-
tas interpretaciones en situaciones de resolución
de tareas matemáticas. De modo que, durante la
enseñanza, es conveniente que el docente haga
explícita las relaciones entre las diferentes inter-
pretaciones de la fracción.
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En la literatura especializada se cuenta con
una variedad de tareas de fracciones que hacen
énfasis en cada una de las interpretaciones men-
cionadas (Andonegui, 2006, p.16). Sin embargo,
en ocasiones conviene develar tales interpreta-
ciones a partir del análisis de las técnicas y dis-
cursos de los estudiantes, especialmente cuando
emergen de actividades matemáticas no conven-
cionales, como es el caso de la simulación. En
este trabajo interesan tres interpretaciones de
la fracción: parte-todo, reparto y operador, las
cuales se han puesto de maniesto en los discur-
sos alrededor de la simulación de la grúa torre.
La interpretación parte-todo de la fracción
concierne al reconocimiento de la relación exis-
tente entre un número de partes congruentes
–equivalentes entre sí como cantidad de super-
cie o de objetos– y el número total de partes
(Llinares & Sánchez, 1997). Por ejemplo, las si-
guientes oraciones ponen de maniesto un uso
de la fracción
desde esta interpretación: (i)
dos de las tres partes iguales que componen a
una barra de chocolate, (
ii) dos intentos fallidos
de un total de tres intentos o (
iii) dos de cada tres
hombres de un grupo con una cualidad especial
para el trabajo.
El reparto como interpretación de la fracción
comprende situaciones de repartición de una
totalidad en partes iguales (Andonegui, 2006,
p.10). Por ejemplo, en una situación de reparto,
la fracción
puede ser interpretada como que
“cada niño de un grupo de tres niños ha comido
la tercera parte de dos pizzas”.
Por último, la fracción como operador su-
giere dos formas distintas de interpretación en
función del contexto: como factor de cambio
ocomo función (Ríos, 2008; 2010). En la prime-
ra forma de interpretación, la fracción-operador
actúa como un factor de cambio que se aplica a
una totalidad mediante una sucesión de opera-
ciones de multiplicación y división, efectuadas
en cualquier orden (Llinares y Sánchez, 1997;
Ríos, 2010). Aunque el resultado es el mismo en
cualquier orden, el signicado de estas varía se-
gún como se apliquen las operaciones. Por ejem-
plo, en la expresión “
de una longitud a”, la
fracción
indica el factor de cambio que actúa
sobre la totalidad –la longitud. Otra forma de es-
cribir la expresión es:
a y su resultado puede
obtenerse de dos maneras:
• La totalidad es dividida entre 3 y el resultado
luego es multiplicado por 2. Esto es:
a =
(a ÷ 3) ∙ 2. En este caso, la interpretación de
la fracción como operador se ve inuencia
por el signicado parte-todo.
• La totalidad es multiplicada por 2 y el resulta-
do obtenido se divide entre 3. Esto es:
a =
(a ∙ 2) ÷ 3. Aquí la interpretación operador de
la fracción está inuenciada por el signica-
do de reparto.
En la segunda forma de interpretar la fracción
como operador, interviene la noción de función
real de variable real. En este caso, la función
transforma una totalidad x según la regla
∙ x.
En otras palabras, el sujeto puede pensar en la
transformación de x a partir de
en términos
de la función lineal: f(x)=
∙ x. Esta forma de
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interpretación puede servir para resolver una si-
tuación como la siguiente: “determinar los
de
15000 bolívares”. Es así como f(15000) =
∙ (15000) resuelve la situación siempre que se
apliquen las operaciones del caso. A pesar de que
esta forma de interpretación no es común en las
clases de matemática, es muy útil para compren-
der la manera de proceder ante situaciones como
esta: “la sexta parte de las dos terceras partes de
900 metros”. La proposición anterior puede re-
sumirse así:
( ∙ 900) metros. Su resolución
se apoya claramente en la noción de fracción
como operador desde una perspectiva funcional.
Más aún, la situación alude a una composición
de dos funciones lineales, g(x) =
∙ x y f(x) =
∙ x, denida como (g ∘ f)(x). Es así como (g
∘ f)(x) =
∙ ( ∙ x), aplicada al valor, permite
hallar una respuesta a la situación. Veamos:
Es evidente que la fórmula de (g ∘ f)(x) puede
simplicarse más aún, siempre que se considere
la denición y propiedades de la multiplicación
en ℝ:
En líneas generales, la técnica detrás de esta
forma de proceder puede resumirse así:
El contexto de la simulación
La experiencia de simulación que sirve de
marco a este trabajo forma parte de un proyec-
to socio-educativo que el Grupo TEM puso en
funcionamiento en la Unidad Educativa Nacio-
nal Alejandro Fuenmayor, ubicada en la ciudad
de Maracaibo, Venezuela. El proyecto, denomi-
nado Club GeoGebra para la Diversidad, tiene
el propósito de contribuir al desarrollo de las
competencias cientícas de los estudiantes que
participan en los clubes, mediante actividades de
simulación de fenómenos naturales con la ayuda
del GeoGebra. La simulación que se comenta en
este trabajo estuvo a cargo de dos estudiantes del
último curso de Educación Media en la institu-
ción antes citada (Reyes, Sierra & Reyes, 2015,
pp.36-46), quienes participaron de forma libre
y voluntaria en sesiones de trabajo semanales,
realizadas durante el año escolar 2014-2015. Las
estudiantes contaron con el apoyo del primer au-
tor de este trabajo, quien tomaba parte en las se-
siones de trabajo en calidad de promotor de este
Club GeoGebra.
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El fenómeno simulado por las estudiantes fue
el funcionamiento de una grúa mecánica de tipo
torre. Esta estructura metálica desmontable es
usada comúnmente para trasportar carga pesada
en los puertos marítimos o en la construcción de
grandes edicaciones. La grúa en cuestión co-
rresponde al modelo K-10000 de origen danés,
patrocinada por la empresa Kroll Cranes y com-
puesta por la torre principal, el brazo mecánico
con tres grupos de contrapeso de 223 toneladas,
la pluma en la que se encuentra el carril donde se
desplaza o traslada el gancho de aprehensión y la
grúa de servicio que se utiliza para el montaje de
la grúa principal y como apoyo para el levanta-
miento de carga especial.
Entre las características de esta grúa resal-
tan sus 120 metros de altura, lo que la hace ser
la estructura más alta de este tipo en el mundo.
Además, esta grúa soporta vientos de hasta 240
km/h y levanta hasta 132 toneladas, incluso, a
100 metros de distancia, la torre es capaz de so-
portar unas 92 toneladas de peso (ver Figura 1).
Figura 1. Vista lateral de una grúa torre
Fuente: Imagen extraída de: http://ingenieriaycomputacion.blogs-
pot.com/2013/02/kroll-k-10000-la-grua-torre-mas-grande.html
El funcionamiento de la grúa torre está deter-
minado por el movimiento del gancho de apre-
hensión sobre el carril y alrededor de la base, a
través del giro del brazo mecánico hasta en 360°.
Este giro dene una región de carga circular lo-
calizada en la base de la grúa y que cuenta con
un radio máximo de 100 metros. Cuando la grúa
es usada en puertos y aeropuertos, a esta región
se le conoce como el corredor vial, por ser la
zona de carga y descarga de los contenedores y
la supercie por donde se mueven los vehículos
que los trasladan. Para la construcción del co-
rredor vial con el GeoGebra, se asume una pers-
pectiva lineal, paralela o frontal de la grúa, en la
cual el dibujo representado intenta mostrar cierta
profundidad, dotándolo de una naturaleza tridi-
mensional cticia.
El proceso de simulación
Para simular con GeoGebra el funcionamien-
to de la grúa torre, fue necesario resolver una se-
rie de tareas de construcción que se atendieron de
forma progresiva. En este trabajo centramos la
atención únicamente en la tarea de construcción
del corredor vial, desde la perspectiva que ofrece
la imagen de referencia. Después de establecer
las condiciones de la simulación en el software,
las estudiantes emprendieron la construcción de
esta parte de la grúa en dos etapas. En la primera
etapa, el corredor vial se relaciona con algunos
objetos geométricos que hacen posible su repre-
sentación en la interfaz del GeoGebra. La segun-
da etapa consistió en la construcción en sí del
modelo geométrico representativo del corredor
vial. Fue precisamente en esta etapa cuando las
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representaciones parte-todo, reparto y operador
de la fracción se presentaron en la lógica del tra-
bajo de simulación. A continuación, se explica
con más detalles cada una de estas etapas.
Consideraciones de inicio
Antes de iniciar con la simulación, fue ne-
cesario que las estudiantes crearan unas condi-
ciones de partida. Estas condiciones fueron las
siguientes:
• La imagen mostrada en la Figura 1 fue inser-
tada en la Vista Gráca del GeoGebra para
contar con una referencia al momento de la
construcción de las partes de la grúa, inclu-
yendo el corredor vial. La apariencia de la in-
terfaz seleccionada fue la de Álgebra, la cual
muestra al usuario un sistema de coordenadas
cartesianas. La imagen fue anclada a los ejes
coordenados luego de construir los puntos A
y B, localizados en el origen del sistema y en
la rama positiva del eje y, respectivamente.
Luego de contar con A y B, se hicieron co-
rresponder estos puntos con las esquinas in-
ferior y superior izquierda de la gura.
• La opacidad de la imagen –esto es, la varia-
ción de su tonalidad– fue controlada por me-
dio de un deslizador llamado claridad, crea-
do para revisar el estatus de la construcción.
• Se construyó el segmento
sobre la imagen
con el propósito de que sirviera de patrón de
medida, esto es, de referente al momento de
construir guras con longitudes o distancias,
de manera que estas medidas se hagan depen-
der de la longitud de
. Vale destacar que
fue construido de manera que su longitud
se correspondiera con la altura de la grúa des-
de la parte inferior del corredor vial. De for-
ma predeterminada, el GeoGebra usó el rótu-
lo para señalarla longitud AB (ver Figura 2).
Figura 2. Condiciones de la simulación mostradas
en la imagen
Fuente: Elaboración de los autores
Etapa 1. Vinculación del corredor vial con
objetos geométricos
La construcción del corredor vial partió de la
siguiente pregunta: ¿qué objeto u objetos geomé-
tricos permiten representar esta parte de la grúa
con el GeoGebra? Dada la perspectiva frontal de
la imagen de referencia, el corredor vial adquiría
para las estudiantes una forma geométrica muy
particular: la de un rectángulo; que, según ellas,
era el modelo matemático que mejor representa
esta parte del fenómeno. La elección del rectán-
gulo como modelo asociado al corredor vial se
hizo a partir del reconocimiento de relaciones de
paralelismo y congruencia entre los bordes del
corredor vial en la imagen de fondo, así como
de los ángulos rectos en cada esquina. A medida
que se avanzó en la simulación, fueron surgien-
do algunos otros elementos matemáticos asocia-
dos con el rectángulo.
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Etapa 2. Construcción del corredor vial
Hasta este momento, las estudiantes solo
contaban con uno de los vértices del rectángu-
lo, el punto, que además es el extremo inferior
del segmento patrón. Este análisis permitió com-
prender que la representación del rectángulo con
GeoGebra dependía de la siguiente tarea:
Determinar la posición de los demás vértices
del rectángulo.
A continuación, se explica la secuencia de pa-
sos seguidos para responder a esta tarea
Localización del vértice superior izquierdo
En la imagen, se podía observar que el vér-
tice superior izquierdo estaba contenido en el
segmento patrón, a cierta distancia del vértice .
Aunque esta distancia era desconocida para las
estudiantes, ellas llegaron al acuerdo de aplicar
la siguiente técnica para localizar este vértice:
Construir una circunferencia centrada en y
con un radio igual a la distancia desconocida,
de manera que la intersección entre esta curva
y el patrón de medida dena la localización del
vértice.
En este momento, la localización del vértice
superior izquierdo dependía de la determinación
de un valor para el radio de la circunferencia,
que en sí comprendía una distancia desconocida.
Para estimar este valor, las estudiantes apoyaron
su análisis en dos cuestiones: (
i) la opción Cua-
drícula* del GeoGebra y (
ii) su conocimiento
de las fracciones. En otras palabras, dado que el
segmento patrón abarcaba lados de una unidad
de la cuadrícula (ver Figura 3), las estudiantes
idearon una forma práctica de estimar las me-
didas de distancia o longitud de la construcción
a través del uso de la noción de fracción como
parte-todo, reparto y operador.
Figura 3. Segmento patrón y cuadrícula
Fuente: Elaboración de los autores
En su primer intento por estimar el valor del
radio, las chicas centraron la atención en la zona
donde estaría ubicado el vértice superior izquier-
do en la imagen, concluyendo que este punto se
ubicaba, más o menos, en la mitad del lado de
una unidad de cuadrícula sobre el segmento a,
especícamente en la más próxima al vértice. En
este momento la fracción
pudo ser interpretada
como parte-todo u operador, según la totalidad
* La cuadrícula es una propiedad de la vista gráca que divide la
zona de trabajo en cuadrados del mismo tamaño.
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considerada. De modo que si la totalidad es un
lado de una unidad de cuadrícula, entonces
sig-
nica una de las dos mitades de la totalidad más
próxima a A, es decir, de aquella que cubría el
borde izquierdo del corredor vial en la imagen
–interpretación parte-todo. En cambio, si la tota-
lidad es el segmento a, la fracción
representa
un factor de cambio que transforma una porción
de a, la cual a su vez es
de tal segmento.
Esta última reexión se puso de maniesto en
el momento en que las estudiantes establecían la
siguiente expresión algebraica como una conclu-
sión de sus discusiones con el promotor:
Esta expresión evidencia cómo las chicas
usaron de forma inconsciente la noción de frac-
ción como operador desde un enfoque funcional.
La composición de funciones lineales les permi-
tió determinar el radio de la circunferencia en
este intento. Con este resultado, se construyó la
circunferencia f centrada en A y de radio
.
Sin embargo, la circunferencia f no era la espe-
rada, ya que el punto de corte entre el segmento
patrón y la curva denía un punto localizado por
encima de la posición que debía ocupar el vértice
(ver Figura 4).
Tras este intento fallido, las estudiantes fue-
ron capaces de valorar la localización de los vér-
tices del rectángulo como un proceso difícil pero
interesante. En un segundo intento, era evidente
que se necesitaba construir una circunferencia
con un radio menor que la dieciochoava parte de
la medida patrón. Para ello, se apoyaron en el
acercamiento a la zona de trabajo con la esperan-
za de obtener una mejor visión del lugar ocupado
por el vértice superior izquierdo. Vale destacar
que la opción de acercamiento del software pro-
duce la subdivisión de cada una de las unidades
de la cuadrícula en partes iguales.
Figura 4. Resultado fallido de localización del
vértice superior izquierdo
Fuente: Elaboración de los autores
En este sentido, se hicieron varios acerca-
mientos para lograr una mejor apreciación de la
zona, justo en el punto de corte de la circunfe-
rencia f y el segmento patrón, lo que facilitaría
una nueva estimación del radio. Cuando el acer-
camiento permitió que cada mitad de un lado
de unidad de cuadrícula quedara dividida en 10
partes iguales, las estudiantes observaron que el
borde izquierdo del corredor vial ocupaba 9 de
las 10 décimas partes de mitad (ver Figura 5).
A sabiendas de que cada mitad del lado de
unidad de cuadrícula es la dieciochoava parte de
la medida patrón, esto es , entonces el ra-
dio que se necesitaba en este intento era de:
de
, que resumido sería: . Para
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resolverla, esta expresión fue interpretada como
una composición de funciones lineales origina-
das del signicado de fracción como operador,
que fue atendida mediante los siguientes cálcu-
los:
Figura 5. Acercamiento a la zona de trabajo
Fuente: Elaboración de los autores
Usando esta medida de como valor del
radio, se procedió a construir la circunferencia c
que se muestra en la Figura 6. El vértice superior
izquierdo, llamado C, se obtuvo al intersecar el
segmento patrón con esta circunferencia.
Localización del vértice inferior derecho
En cuanto a los restantes vértices, las estu-
diantes observaron que estos se encontraban en
rectas perpendiculares al segmento a por los vér-
tices A y C, ya que todos los ángulos internos del
rectángulo son rectos. Es así como emerge otra
idea geométrica –vinculada al rectángulo– que
les permitía avanzar en la resolución de la tarea:
relaciones de posición entre rectas. Entre las re-
laciones posibles entre dos rectas en el plano, el
paralelismo y la perpendicularidad se consideran
las más comunes.
Figura 6. Posición del vértice superior izquierdo
Fuente: Elaboración de los autores
Para el caso del vértice inferior derecho, las
estudiantes construyeron la recta perpendicular
al segmento a por el vértice A, rotulada con la
letra d y, para localizarlo, aplicaron la misma
técnica de localización de puntos que fue usada
en el paso anterior. Sin embargo, antes de aplicar
la técnica se tomó la decisión de ajustar la ima-
gen mediante un alejamiento, de manera que el
segmento patrón a abarcara solo 6 lados de una
unidad de cuadrícula y no 9 como antes. En este
caso, por ende, cada lado de una unidad de cua-
drícula tenía una medida de (ver Figura 7).
Esta reexión facilitó la apreciación de la can-
tidad de unidades de cuadrículas que distaban
entre A y el lugar ocupado por el vértice inferior
derecho en la imagen, originándose así el valor
del radio estimado.
Luego de aplicar la técnica fallidamente en
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varias ocasiones, las estudiantes lograron de-
terminar un valor apropiado para el radio de la
circunferencia, que facilitó la localización del
vértice inferior derecho. Este valor se dedujo de
un razonamiento basado en la identicación de
la cantidad de lados de una unidad de cuadrícula
que abarca el borde inferior del corredor vial, el
cual era de 11 unidades y un poco más. En este
momento era necesario determinar la fracción
del lado de una cuadrícula que correspondía a
ese trozo de corredor vial sobresaliente.
Figura 7. Resultado del alejamiento de la imagen
Fuente: Elaboración de los autores
Para determinar esta fracción, las chicas
usaron la opción de acercamiento del software
con el n de dividir cada lado de una unidad de
cuadrícula en tantas partes iguales como fueran
necesarias, hasta lograr que la porción sobrante
en la Figura 7 cubriera una cantidad exacta de
estas nuevas partes. El número de divisiones del
lado de cuadrícula fue de 8, por lo tanto, la frac-
ción
representaba a la porción del corredor
vial sobresaliente. Esta reexión se apoyó en la
interpretación parte-todo de la fracción.
A esta fracción se sumaron once lados de
unidad de cuadrícula antes del acercamiento,
que fueron expresadas como octavas partes para
proceder con la operación. Las unidades 11 en
cuestión fueron transformadas en octavas partes
de la siguiente manera:
En este razonamiento, la idea de fracciones
equivalentes surge cuando se establece tal rela-
ción entre 1 y
. En conclusión, las 11 unidades
representan
de un lado de cuadrícula. En con-
secuencia, sumaron esta fracción con la obtenida
anteriormente. Esto es:
de un lado de
unidad de cuadrícula, lo que es igual a
de esta
totalidad.
Y como cada lado de una unidad de cuadrícu-
la representa
en este paso, la fracción ante-
rior fue escrita de la siguiente manera:
,
expresión que fue simplicada de la siguiente
forma:
Conocido este valor, las estudiantes procedie-
ron a construir una circunferencia centrada en A
y con un radio
, la cual se rotuló con la letra
e. Esta curva les permitiría localizar el vértice
inferior derecho tras intersectarla con la recta d.
De esta manera, el vértice requerido sería el pun-
to de intersección a la derecha de A, el cual fue
rotulado con la letra D (ver Figura 8).
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Figura 8. Posición del vértice inferior derecho
Fuente: Elaboración de los autores
Localización del vértice superior derecho
Al inicio del paso anterior, las estudiantes ha-
bían ubicado al vértice superior derecho sobre
una recta perpendicular al patrón a por el vértice
C. Esta recta fue construida y rotulada con la le-
tra i. El momento fue propicio para reconocer,
además, que este cuarto vértice estaba contenido
en una recta paralela al segmento patrón a por el
punto D. Luego de construir esta otra recta, lla-
mada h por el GeoGebra, las estudiantes obser-
varon que el vértice superior derecho ocupaba la
posición del punto de intersección entre i y h. Al
determinar este punto de intersección, obtuvie-
ron el punto E, que es el vértice superior derecho
(ver Figura 9).
Figura 9. Posición del vértice superior derecho
Fuente: Elaboración de los autores
Conocidos los cuatro vértices del rectángu-
lo, se procedió a construir este cuadrilátero con
el GeoGebra, usando la herramienta Polígono
y haciendo clic en los vértices, siguiendo la se-
cuencia: A-C-E-D. La tarea de construir el corre-
dor vial nalizó con la representación del rayado
de la carretera, el cual fue creado a partir de un
segmento con extremos en los puntos medios de
los lados
y . A este segmento se le cam-
bió su color y apariencia para asemejarlo más a
la realidad. En la Figura 10 se puede ver el resul-
tado de esta tarea.
Figura 10. Resultado de la resolución de la tarea
Fuente: Elaboración de los autores
Conclusiones
La dinámica de simulación que ha generado
este trabajo se apoyó en el reconocimiento de los
objetos geométricos más representativos de las
partes de la grúa torre. Aunque el éxito de este
proceso depende, en gran medida, de la expe-
riencia y saberes previos de los involucrados, la
intervención del promotor en el momento de la
simulación fue clave para facilitar la emergen-
cia de un conocimiento matemático en acción,
el cual tomaba lugar en los discursos de las estu-
diantes, muchas veces de manera inconsciente.
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Durante la simulación del corredor vial, el
rol desempeñado por el concepto de fracción
fue determinante, por ejemplo, al momento de
localizar la posición de los vértices superior iz-
quierdo e inferior derecho del rectángulo. Me-
diante la aplicación de una técnica basada en la
estimación e interpretación de las fracciones in-
volucradas como parte-todo, reparto y operador,
las estudiantes lograron validar la técnica a tra-
vés de la teoría matemática subyacente. En este
particular, se notó que una perspectiva funcional
de la interpretación de fracción como operador
ayudó a dar sentido a una técnica consistente en
expresar una composición de funciones lineales
como una simple transformación del segmento a
según una fracción
.
La conexión entre las distintas interpretacio-
nes y otras nociones matemáticas también se
puso de maniesto. Por ejemplo, en el primer in-
tento por localizar el vértice superior izquierdo,
la fracción como parte-todo ayudó a establecer
la relación entre el borde izquierdo del corre-
dor vial y el lado correspondiente a la unidad de
cuadrícula sobre la cual este borde descansaba –
fracción
como parte-todo. Inmediatamente des-
pués, esta fracción fue usada como un factor de
conversión sobre una novena parte del segmento
a –la longitud del lado de una unidad de cuadrí-
cula– que, luego de ser expresada en notación
matemática, fue tratada como una composición
de funciones. Aunque establecer conexiones en-
tre contenidos matemáticos puede resultar un
proceso difícil para los estudiantes y profesores
(Segovia & Rico, 2001), la diversidad de con-
tenido matemático presente en esta experiencia
concreta de simulación conrma el potencial de
estos entornos para fomentar el establecimiento
de conexiones entre la matemática, de una forma
más espontánea. Esta conclusión se corresponde
con otras experiencias de simulación que hemos
llevado a cabo como grupo en otros escenarios
(Cervantes, Rubio & Prieto, 2015; Gutiérrez &
Prieto, 2015; Prieto, Luque & Rubio, 2013).
En cuanto al GeoGebra, fue de gran utilidad
la cuadrícula que este software dispone, ya que
esta forma de subdivisión de la zona de trabajo
en cuadrados congruentes facilitó el reconoci-
miento de totalidades y porciones de estas totali-
dades que derivaron en el cálculo de ciertas me-
didas requeridas en la construcción. Las ventajas
en la utilización de la cuadrícula aumentaron con
el apoyo del acercamiento y alejamiento a zonas
especícas de la imagen. A través de estas op-
ciones se estableció la equivalencia entre frac-
ciones como consecuencia de nuevas particiones
o el reagrupamiento de porciones iguales de la
cuadrícula, que se mostraban en la interfaz del
GeoGebra de manera automática.
Sin lugar a dudas, el concepto de fracción fue
el núcleo temático con mayor presencia en la si-
mulación del corredor vial de la grúa torre. Se-
guramente su uso en la construcción del resto de
las partes seguirá siendo necesario. Sin embargo,
identicar cuándo una u otra interpretación de la
fracción puede y debe emplearse para avanzar
en la construcción no resultó fácil para las es-
tudiantes. De manera especial, se evidenciaron
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problemas para interpretar matemáticamente
ciertas proposiciones que iban surgiendo en la
simulación, como por ejemplo: “el segmento
patrón contiene tres veces y un cuarto al borde
inferior de corredor vial” o “el borde inferior del
corredor vial es ochenta y nueve veces las cua-
renta y ocho-avas partes del segmento patrón”,
las cuales se iban superando con el apoyo de mu-
cha práctica y lectura sobre las fracciones.
A pesar de estas dicultades, consideramos
que esta experiencia de simulación ha permitido
a las estudiantes adquirir destrezas en el uso in-
tegrado de la matemática y del GeoGebra, sobre
la cual vale la pena profundizar.
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